Chapter 6: System of Particles and Rotational Motion

Physics Class 11

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🔰 भूमिका (Introduction)

जैसे एक गेंद translation करती है (सीधी दिशा में चलती है), वैसे ही कोई fan या wheel rotation करता है। पर ज़्यादातर real-world objects सिर्फ move नहीं करते, बल्कि rotate भी करते हैं।

• Cricket bat घुमता भी है और चलता भी है।
• Door खुलेगा तो अपने hinge (axis) के चारों ओर घुमेगा।

यहाँ हमें समझना होगा कि कई particles के system को कैसे समझें, और जब वह घूमता है तो उसकी गति को कैसे मापा जाए।

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1️⃣ Centre of Mass (COM) – द्रव्यमान केंद्र

🔹 Definition:

“Centre of mass वह बिंदु होता है जहाँ पूरे system का द्रव्यमान केंद्रित माना जा सकता है।”

मतलब – कई particles को एक ही particle मानकर, उसके motion को track करने के लिए जिस point का इस्तेमाल करें – वही है COM.

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🔸 Formula (Discrete System के लिए):

xcm=m1x1+m2x2+…m1+m2+…x_{\text{cm}} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + \dots}{m_1 + m_2 + \dots}

✅ Real-Life Example:

• क्रिकेट बैट को उछालो – वो COM के चारों ओर घूमेगा
• बंद दरवाज़ा खोलो – उसका COM दरवाज़े के बीच में होता है
• जिम्नास्ट हवा में घूमते हैं – COM के चारों ओर

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🔍 Continuum (धारावाहिक द्रव्यमान) के लिए:

Rcm=1M∫r dmR_{\text{cm}} = \frac{1}{M} \int r \, dm

जहाँ RcmR_{\text{cm}} = position of COM
MM = total mass

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2️⃣ Motion of Centre of Mass

Centre of Mass Newton के Laws को obey करता है।
System of particles चाहे जितना complex हो, COM का motion बहुत आसान होता है। Fext=M⋅acmF_{\text{ext}} = M \cdot a_{\text{cm}}

Total external force सिर्फ COM को accelerate करता है।

✅ Example:

• दो ice skaters एक-दूसरे को धक्का देते हैं – दोनों अलग-अलग directions में जाते हैं, लेकिन COM वहीं रहता है
• एक rocket से fuel गिरता है – फिर भी COM curved path follow करता है

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3️⃣ Linear Momentum of a System

P=∑miviP = \sum m_i v_i

Total momentum एक vector sum होता है। External force ही उसे बदल सकता है।

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4️⃣ Torque (घूर्णन बल)

जब कोई बल किसी object को घुमाने की कोशिश करता है, तब हम कहते हैं कि वह torque लगा रहा है।

🔹 Formula:

τ=r×F=rFsin⁡θ\tau = r \times F = rF \sin \theta

जहाँ:

• τ\tau = Torque
• rr = position vector
• FF = force
• θ\theta = angle between r and F

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✅ Units:

• SI Unit: Newton-meter (N·m)
• Dimensional Formula: ML2T−2ML^2T^{-2}

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🔍 Real-life Example:

• दरवाज़ा खोलना – handle दूर हो तो torque ज्यादा
• रिंच से नट खोलना – लंबा रिंच = ज्यादा torque
• पंखा घूमता है – torque motor देती है

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5️⃣ Angular Momentum (कोणीय संवेग)

“Angular momentum किसी वस्तु की rotational inertia और angular velocity का गुणनफल होता है।” L=r×p=IωL = r \times p = I \omega

जहाँ:

• LL = Angular Momentum
• II = Moment of Inertia
• ω\omega = Angular velocity

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✅ Conservation of Angular Momentum:

“अगर किसी system पर कोई external torque नहीं लगता, तो उसका angular momentum constant रहता है।” Linitial=LfinalL_{\text{initial}} = L_{\text{final}}

Example: Ice skater अपने हाथ सिकोड़ते हैं – spin तेज़ हो जाती है
Ballet dancer के घूमने का secret यही है

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6️⃣ Moment of Inertia (जड़त्व आघूर्ण)

जैसे mass translational motion में inertia दिखाता है, वैसे ही rotation में Moment of Inertia होता है।

🔹 Formula:

I=∑miri2I = \sum m_i r_i^2

✅ Units:

• SI Unit: kg⋅m2kg \cdot m^2

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🔍 Examples:

Object	Moment of Inertia
Solid Sphere	25MR2\frac{2}{5}MR^2
Solid Cylinder	12MR2\frac{1}{2}MR^2
Ring	MR2MR^2
Thin Rod (center)	112ML2\frac{1}{12}ML^2

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7️⃣ Theorems of Moment of Inertia

🔸 Parallel Axis Theorem:

I=Icm+Md2I = I_{\text{cm}} + Md^2

जहाँ dd is distance between axis and COM

🔸 Perpendicular Axis Theorem (2D bodies):

Iz=Ix+IyI_z = I_x + I_y

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8️⃣ Rotational Kinetic Energy

K.Erot=12Iω2K.E_{\text{rot}} = \frac{1}{2} I \omega^2

जैसे linear motion में KE = 12mv2\frac{1}{2}mv^2
वैसे ही rotation में Moment of Inertia के साथ KE निकाली जाती है

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9️⃣ Rolling Motion – Translation + Rotation

जब कोई गोल वस्तु फिसलने के बजाय लुढ़कती है, तो उसमें translation और rotation दोनों होता है।

🔹 Total Kinetic Energy:

KE=12mv2+12Iω2KE = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I \omega^2

Example: Rolling Ball, Bicycle wheel

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🔟 FAQs – System of Particles and Rotational Motion

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🔚 निष्कर्ष (Conclusion)

इस chapter ने हमें सिखाया कि particles के group को कैसे analyse करें, और real-life में घुमते objects को कैसे समझें। चाहे वो bicycle हो, earth का spin हो, या किसी gymnast की कला – सबमें यही concepts लागू होते हैं।

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📊 Summary Table

Concept	Formula	Units
COM	xcm=m1x1+m2x2m1+m2x_{cm} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2}{m_1 + m_2}	meter
Torque	τ=r×F\tau = r \times F	N·m
Angular Momentum	L=IωL = I\omega	kg·m²/s
Moment of Inertia	I=∑miri2I = \sum m_ir_i^2	kg·m²
Rotational KE	12Iω2\frac{1}{2} I \omega^2	Joule

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और पढ़े :

Chapter 7: Gravitation